Числа Фибоначчи (также известная как последовательность Фибоначчи) — это числовая последовательность, в которой первые два числа являются 0 и 1, а каждое следующее число представляет собой сумму двух предыдущих. Таким образом, последовательность выглядит следующим образом:
- 0
- 1
- 1
- 2
- 3
- 5
- 8
- и т. д.
Ключевые характеристики чисел Фибоначчи:
- Последовательность начинается с 0 и 1.
- Каждое последующее число является суммой двух предыдущих.
- Соотношение двух последовательных чисел Фибоначчи приближается к золотому сечению (число около 1,618).
- Числа Фибоначчи часто встречаются в природе и приложениях, таких как:
- Спирали на раковинах
- Расклад листьев на стебле растения
- Финансовый анализ
Для определения, является ли заданное число числом Фибоначчи, можно использовать следующие методы:
- Формула прямого вычисления: Число является числом Фибоначчи, если оно равно Fn для некоторого натурального числа n, где Fn задается формулой Fn = (ф^n — (1-ф)^n) / sqrt(5), где ф — золотое сечение.
- Рекурсивное вычисление: Число является числом Фибоначчи, если оно равно F(n-1) + F(n-2) для некоторого натурального числа n.
- Проверка членства: Число является числом Фибоначчи, если оно принадлежит последовательности чисел Фибоначчи, которая может быть сгенерирована с помощью рекурсивного или прямого вычисления.
Как обозначается число Фибоначчи?
Последовательность чисел Фибоначчи определяется согласно формуле Fn = Fn-1 + Fn-2. Следовательно, каждое последующее число получается как сумма двух предыдущих чисел.
Первые два числа последовательности равны 1. Далее последовательность строится следующим образом:
- F3 = F2 + F1 = 1 + 1 = 2
- F4 = F3 + F2 = 2 + 1 = 3
- F5 = F4 + F3 = 3 + 2 = 5
- И так далее…
Таким образом, последовательность Фибоначчи выглядит следующим образом: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ….
Последовательность Фибоначчи имеет ряд интересных свойств:
- Число Фибоначчи с индексом n можно вычислить как отношение золотого сечения φ (1,61803…) в степени n к корню из пяти: Fn ≈ (φn — (1 — φ)n) / √5
- Отношение двух соседних чисел Фибоначчи приближается к золотому сечению по мере увеличения индекса n: Fn / Fn-1 ≈ φ
- Сумма квадратов двух последовательных чисел Фибоначчи равна числу Фибоначчи с индексом, следующим за максимальным индексом слагаемых: Fn2 + Fn+12 = Fn+2